专题讲座小学函数思想和模型思想的教学策略孙家芳朝阳区教育研究中心曹艳北京教育学院朝阳分院

中科院院士、数学家张景中在一文中指出:“小学生学的数学很初等,很简单。尽管简单,里面却蕴涵着一些深刻的数学思想。最重要的,首推函数思想。……不用给小学生讲函数概念,但教师要有函数思想,在教学中注意渗透变量和函数的思想,潜移默化,对学生的素质就有好处。”

关于函数思想:在小学阶段虽然没有出现“函数”这一概念,但整个小学阶段的数学学习中无不渗透着函数的思想,可以这样说,凡是有“变化”的地方都蕴涵着函数思想。

初中:在一个变化过程中有两个变量x和y,对于x的每一个值,都有唯一的一个y值与之对应,我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。

高中:A、B是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,对于集合A的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的f(x)和它对应,那么就称:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y=f(x),x∈A。

现代数学:两个集合A,B,F是一个从A到B的二元关系,如果对于A中的每一个元素x,都有唯一的Y满足<x,y>属于F,就称F为从A到B的函数,也称映射。

函数思想是一种考虑对应、考虑运动变化、相依关系,以一种状态确定地刻画另一种状态,由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法,函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系。具体地说,函数思想体现于:

★认识到这个世界是普遍联系的,各个量之间总是有互相依存的关系,即“普遍联系”的观点;

★于“变化”中寻求“规律(关系式)”,即“模式化”思想;

★于“规律”中追求“有序”“结构化”“对称”等思想;

★感悟“变化”有快有慢,有时变化的速度是固定的,有时是变动的;

★根据“规律”判断发展趋势,预测未来,并把握未来,即“预测”的思想。

于“变化”中把握“规律”,并根据规律做出预测,不仅仅是重要的数学思想,更是人类生存的基本原则。函数的核心就是“把握并刻画变化中的不变,其中变化的是‘过程’,不变的是‘规律’(关系)”。学生愿意去发现规律,并能将规律表述出来的意识和能力,就是函数思想在教学中的渗透。

函数思想在小学阶段强调的是“渗透”,让学生感受到“于变化之中寻求不变,并把握规律的重要性”。小学阶段并不要求学习“形式化”的函数定义。

在小学数学教学中渗透函数思想,要把握以下两条基本原则:

(1)创设“变化”的过程,才能感受到函数思想。

(2)激发学生“探究”的本性,于“变”中把握“不变”,满足人的好奇本性。

1.探索规律——对“模式”的初步认识

《标准》把“探索规律”作为渗透函数思想的一个重要内容,“探索规律”实际上就是培养学生的“模式化”的思想,发现规律就是发现一个“模式”。

(1)对数或者图形排列规律的探索

※探索图形排列中的规律

一年级下册:你发现了什么?如果按照这样的规律继续下去,后面一个应该是什么?摆一摆、涂一涂、接着摆等问题。重点突出刻画的是相同的规律,而这个一般化的过程就是对函数的一个最基本的性质——周期的渗透。

※探索数列中的规律也多出现在第一学段的各册教材中。

一年级下册:百数表中的规律,在“百数表”中除了可以探索数的排列规律(横着、竖着、斜着)外,还可以进一步探索每一行中相邻的两个数的规律、每一列中相邻两个数的规律,甚至每两行与每两列相邻四个数之间的规律,这些规律中蕴含着多种变化的模式。

(2)对运算规律的探索

如:数的组成:学生把8个物体分成两部分,把其中一部分中一个一个向另一部分“转移”,得出把8分成两部分可以有四种不同分法的结论的同时,还会发现“随着一部分多1个,另一部分必然少1个”的规律。

对于“乘法中的运算规律”的探索:乘法口诀的学习是“一串一串”的,使得在学生编口诀、背口诀的过程中就发现了:“一个因数不变,积随着另一个因数的变化而变化”的规律。乘法口诀表中,更是集中体现了这个规律。

六年级下册正反比例意义的学习是对变化“模式”的一次集中探索,这一内容的学习中,以表格的形式呈现了多种不同的变化规律。

2.基本数量关系、图形位置与变换——对“关系”的体验

函数就像一座桥梁,建立起两个集合之间的“关系”。

(1)体验“一对一”“多对一”

“一一对应”在小学数学教材中是贯穿始终的。

※数数:名数与常数建立“一一对应”

在认数1—10时,呈现将物体的个数与点子图进行一一对应的图像,在具体实物与抽象的数之间建立起桥梁的作用。

※比大小:同样多的部分“一一对应”;

在教学比大小时又都呈现将两部分物体分别排列起来,一一相对,渗透一一对应的思想

※乘法口诀:一个因数不变时,积与另一个因数“一一对应”

※找规律填数:数列中的每一个数与它的项数“一一对应”

※折线统计图:一组数据与统计图中的一个点“一一对应”

通过折线统计图渗透函数思想。如:学生学习了折线统计图,他们就可以从下图中得到丰富的信息:一天中,骆驼的体温最高是多少?最低是多少?一天中,在什么时间范围内骆驼的体温在上升?什么时间范围内骆驼的体温在下降?第二天8时的体温与以前一天骆驼的体温有什么关系?……从图像中可以自然的向学生渗透变化的量等函数思想。教师进而还可出示骆驼随外界温度体温发生变化的折线统计图,引导学生对比分析两幅图的相同点、不同点,及其成因。讨论温度变化的周期。

※任何一个有序数对与坐标系上的点“一一对应”等等。

将对应关系以图解的形式渗透,各册教材中均有类似如下的练习,使学生直观的体验到“像”与“原像”之间的“一一对应”。

“多对一”的这种“关系”在小学不是很常见,但是学生也有一些体验。

※学习“四舍五入”,3.5至4.5(不含4.5)之间的无穷多个数四舍五入保留整数后都对应的是“4”

※“找次品问题”,次品数在10至27个时,均需要称量3次

这些内容丰富了学生对于两个集合“关系”的认识。

(2)体验“两个或多个确定一个”“一个确定一个”

在小学,学生接触更多的是“两个确定或多个确定一个”,即二元函数和多元函数。

※一、二年级,学生认识的加、减、乘、除四种运算就是算式左端的两个数与右端的一个数之间的“关系”。比如加法:这是一道看似普通的填空题,这里虽然尚未揭示“函数”概念,可当我们意识到题中对于另一个加数所取的每一个值,都将有唯一的值与之对应,即当一个加数不变时,和是另一个加数的函数时,它就可以作为函数思想的渗透点。

※周长、面积、体积公式:

C=πd(圆的周长=圆周率×直径),C是d的函数。

S=vt(路程=速度×时间),当速度v固定时,S是t的函数。

S=(三角形面积=底×高÷2),当a固定时,S是h的函数。

圆面积公式S=πr2,这些公式不仅有一次函数还有二次函数。

※其它一些三量关系:速度、时间、路程;单价、数量、总价等。这些给了学生很多对多元函数自变量与因变量之间“关系”的感受。

※需要注意的是,当已知两个量单纯地计算出另一个量是多少时,这仅仅是计算问题,在此解决过程中并没有蕴涵函数的思想,因为没有变化过程,这只是一个简单的算术问题。例如:“体积的问题”源于教材中的一个练习,一块长30cm、宽25cm的长方形铁皮,从四个角各切掉一个边长是5cm的正方形,然后做成盒子。这个盒子用了多少铁皮,它的容积是多少”这个问题就只是一道简单的计算题,当然问题解决过程中也发展了学生的空间观念。但是如果将原题中的规定“切掉边长是5cm的正方形”改为猜想并验证“切掉边长是多少厘米的正方形时,铁盒的容积最大”问题就由静止变得动态起来。借助这样运动、变化的过程,对学生进行函数思想的初步渗透。

小学教材中以各种素材、各种形式提供给学生大量关于集合之间“关系”直观经验,对“关系”的体验使学生对变量之间的相依关系有了初步的认识,而这种变量间的相依关系恰恰就是函数概念的本质。

3.字母表示数、表格、图像等——对多种数学语言的感受和初步使用

由于函数反映的是变量之间的关系,所以必须借助数字以外的符号来表示。常用的有:语言描述、表格、图像和解析式四种方法。

(1)感受和使用字母语言

一般的函数解析式都是借助字母来表达的。引进字母表示,是用符号表示数量关系和变化规律的基础。学生经历从用数字表示数到用字母表示数的过程是一个漫长的过程,需要经历大量的活动,积累丰富的经验。

※教学加法和乘法运算定律时,出现用字母表示各种运算定律,使学生初步感受字母可以表示一般意义上的数。

(2)感受和使用表格语言

表格的方法在小学数学教材中的地位是十分突出的。

首先,表格作为学生发现规律的重要工具出现在运算规律探索、公式的推导、图形的变化规律的探索等内容中。如五年级长方体体积公式的推导,教材中就是通过用体积单位拼摆长方体后填表格,进而归纳出长方体体积的计算公式的。

其次,表格是学生表达数量之间关系的一个重要工具。如,“找次品”问题中,所测物品个数与称量次数之间的关系借助语言和表达式对小学生来说都有一定的困难,借助表格来表达最恰当不过的了。

(3)感受和使用图像语言

图像对于理解变量之间的关系具有十分重要的意义,图像表示以其直观性有着其它表示方式所不能替代的作用,它是“看见”相应的关系和变化情况的途径之一。

学生最初看到的函数图像是四年级学习的折线统计图,统计图使变量变化的过程变得直观形象,学生感受到不用“算”通过“看”便可以比较出不同变化幅度的大小;六年级成正比例的两个量的图像绘制,使学生初步感受到成正比例的两个量的变化是“连续”(当然这还不是真正的连续)的,任意两点之间还有无穷多个点对应的两个数值也是两个变量可以取到的值。

小学数学中的函数图像与真正的函数图像有一些差别的,如只有第一象限的图像,横轴与纵轴单位长度的不统一,但这些并不影响学生借助图像“看见”变量间的关系,了解不同的变化情况。

总之,小学数学教材中渗透函数的本质——变化与对应、不同类型函数、函数的不同表示法的教学内容处处都有,这些内容的学习可以极大的丰富学生对函数概念的早期经历,丰富了学生对变量及变量之间关系的直观体验,对学生的后续学习有着重要的意义。

函数是刻画客观世界的一个基本数学模型。因此,对于函数的学习,应该与体会、感受和运用函数解决问题有机的结合起来。应该引导学生去思考函数的应用问题,特别是思考函数在日常生活和其他学科的应用。

例如,心电图就是一种时间和心跳频率的函数关系。

例如,股市行情图也是反映了一种函数关系。

函数思想的获得,一方面是教师在课中有意的渗透,但更多的是靠学生在学习过程中不断反思、领悟。只有这样,才能对函数思想有所认识,对数学的理解一定会由量的联系发展到质的飞跃。

总之,函数思想是留给学生探索更高一级数学奥秘的窗口,是使学生视野开阔、思想活跃,获得进一步学习和探索能力的重要途径。同时,函数思想在小学阶段要以渗透为主。所谓渗透,就是有机地结合数学知识的教学,采用教者有意,学者无心的方式,通过逐步积累,让学生对函数思想的认识由浅入深,由表及里,渐进地达到一定的认识高度,从而自觉地运用之。函数思想全部隐含在数学教学内容之中的,要做好渗透,教师就要站在整体的高度,从教材、学生、教学方法综合考虑,既要抓住典型的渗透点,又要研究适合学生年龄特征的教学设计。以达到教师在小学教学中有意识、有目的、有计划的渗透函数思想。

在小学数学教材中,模型无处不在。小学生学习数学知识的过程,实际上就是对一系列数学模型的理解、把握的过程。在小学数学教学中,重视渗透模型化思想,帮助小学生建立并把握有关的数学模型,有利于学生握住数学的本质。

模型,源于拉丁文Modulus,意思是尺度、样本、标准。

有关模型的定义有诸多说法,但基本认识是相同的。即:将原型客体(系统)予以简化、类比和抽象,选用适当的物理、数学或其他逻辑思维关系将其主要的特征描述出来,用于研究和揭示原型的形态、特征和本质的模仿品称为模型。

数学模型也没有一个统一的、准确的定义,因为站在不同的角度可以有不同的定义。一般是指用数学语言、符号和图形等形式来刻画、描述、反映特定的问题或具体事物之间关系的数学结构。

小学数学中的数学模型,主要的是确定性数学模型,广义地讲,数学的概念、法则、公式、性质、数量关系等都是模型。数学模型具有一般化、典型化、和精确化的特点。

就是针对要解决的问题,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究来解决实际问题的一种数学思想方法。

(1)模型化思想是“问题解决”的重要形式

(2)模型化思想是培养学生“用数学”的重要途径

(3)模型化思想有利于培养学生的创造能力

(一)数概念模型

每一个数概念就是一个数学模型。自然数、分数、小数都是现实模型的抽象。

1.整数的直观模型

教材中提供多种模型帮助学生经历、感受建模过程,体会模型思想。

(1)有结构的实物(十个是一捆,十个一捆是一大捆,如此等等)

(2)数位筒

(3)计数器(算盘),在这一阶段孩子对于数位的理解已经有抽象的成分在里面,并含有一定的位值思想。

(4)数位表:在数位表上摆珠子,孩子理解数位表上的珠子的意义比上一个层次更加抽象。

(5)半形象、半抽象的“数尺”、数轴、百数表。

2.分数的直观模型

小学数学教材中,分数有多种直观模型:

(1)实物模型,例如半杯牛奶、半个苹果……

分数概念的引入是通过“平均分”某个实物取其中的一份或几份认识分数的,这些直观模型即为分数的“实物模型”。

(2)面积模型:用面积的“部分—整体”表示分数。

通过“平均分”某个“正方形”或者“圆”,取其中的一份或几份(涂上“阴影”)认识分数的,这些直观模型即为分数的“面积模型”。学生在三年级主要是借助面积模型初步认识分数。

(3)集合模型:用集合的“子集—全集”来表示分数。

例如,在下图中,“蓝色长条”占全部“长条”的3/5。

分数的集合模型需要学生有更高程度的抽象能力,其核心是把“多个”看作“整体1”,所以是五年级学习分数的意义的重点,也是与三年级认识分数最大的不同。

(4)分数的“数线模型”:(数轴上表示的线段长度、点)

分数的“数线模型”就是用“数线”上的点表示分数。它把分数化归为抽象的数,而不是具体的事物。

分数的“数线模型”与分数的“面积模型”有着密切的联系:一个分数可以表示“单位面积”的“一部分”,也可表示“单位长度”的“一部分”,前者是2维的,后者是线性的,是1维的。

“数线模型”是“数轴”的前身,是数轴的“局部放大”和“特殊化”,是用“点”来刻画“分数”。如图:

分数的数线模型相对于面积模型和集合模型来说有一定的难度,所以教材中并没有出现用数线上的点表示分数,但是在学习了真分数和假分数后出现了在数轴上表示真分数和假分数。(在学生理解了分数的意义基础上,逐渐抽象出数线模型)如:三年级认识分数时出现是多为用分数表示段的长度:

如:五年级认识分数意义时多用分数表示点(数轴),更抽象。学生理解比较难。

3.作业一:梳理小数的直观模型

(二)、运算模型

加法、减法、乘法、除法的运算也是数学模型。

1.表内乘法中的计算模型:

国内教材:

※实物:具体情境中的事例

※矩阵:实物摆成的矩阵

实物摆成的方格矩阵

※数线:只有人教版在8和9的口诀学习中使用了数线模型

国外教材:

※实物

※矩阵:实物摆成的矩阵(方块、点子图)

方格摆成的矩阵

※百数表(乘法表)

※数线

一位数乘法模型

按照这样的思路,在一位数乘法中,教师们借助直观教具帮助学生理解算理

模型对比

两位数乘法模型

1.不具有十进关系的面积模型

如点子图,不具有十进关系的方格模型,这样的模型有利于学生理解乘法的意义,引导学生将其分成不同的部分,从而产生多种方法,所以,在鼓励学生算法多样化时是一个有价值的模型。当然,利用此模型,不是所有的学生都能自然的将乘数“拆成10和几”,这需要教师进行引导。

2.“具有十进关系”的面积模型

这样的模型也有利于学生理解乘法的意义。虽然由于其十进关系明显,从而不易引发学生的多种方法,但对于引导学生将乘数“拆成10和几”是很有帮助的。相类似的还有小棒模型,表示的是12×14,从图中学生很容易分成两部分14个10和14个2,但小棒对于三位数就不好使用了。

计数器模型

表示12×4,这个模型十进关系明确,它与十进关系明显的方格模型相比,显然抽象一些,另外,也不适合两位数乘法的使用。

数直线模型

国内教材在整数乘法的学习中很少使用数直线模型(即数轴的雏形),这也许与此模型对于多位数乘法很难体现优越性有关。但数直线有其自身的价值,体现在如下几个方面:

(1)数直线上的点与数可以建立对应关系

(2)数直线可以很好地体现出数序,可以帮助学生直观比较数的大小(在规定了右边为正方向后,右边的数比左边的大)

(3)它是数的模型,在数线上可以顺数(加法),可以倒数(减法),可以几个几个地顺数(乘法),可以几个几个地倒数(除法)

(4)对于乘法运算的学习来说,它对学生理解倍的意义是有一定帮助的。

总之,直观模型对于学生理解算理是非常重要的,而我们的教材和教学中对此体现的并不充分,需要教师意识到他的重要性,并且挖掘相应的素材。

从模型的角度来认识运算,具有深刻的教学价值:

1.可以更加深刻的理解乘法的意义而非仅仅会计算;

2.更重要的是逐步学会从多个角度来认识和学习某个数学概念,“数学学习就是将一种表达形式转化为另一种表达形式,其本质保持不变”,感悟并掌握数学学习的方法;

3.培养学生的抽象概括能力,逐步学会将纷繁复杂的现实事物抽象概括为同一“数学结构”,即逐步体验并掌握“数学建模”的思想。

作业2:梳理除法模型

(三)方程模型

方程是建模思想的重要体现——现实模型——静态模型、动态模型

北师大版教材的呈现三个现实模型,对应三种数量关系,两个静态模型一个动态模型。

苏教版呈现了5个现实模型,对应相同的天平模型,而且都是静态模型。

人教版中呈现了5个现实模型,都是天平模型,整个过程展现了天平称重的过程,是一个由静态到动态再到静态的过程,同时把静态模型与动态模型之间的关系展现得较为清晰。

方程是从现实生活到数学的一个提炼过程,一个用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。每一个方程就是一类生活原型抽象而来的。

从现实情景到用自然语言等价地表达出来,这是一次重要的抽象,是方程建模的关键。然后才是用数学符号等价地表达出用自然语言表达出来,继而同一方程举出正确的生活原型。

(四)几何图形是模型

每一种图形本身就是一种数学模型。点、线、面、基本的平面图形、立体图形的定义就是生活中几何模型向抽象的数学模型的构建过程。平面图形、立体图形的周长、面积、体积的计算公式就是模型化思想渗透的重要途径。

例如:把立体图形的面画在纸上,这就是把生活中的现实模型抽象成数学研究的数学模型的过程。